微分方程小手册

微分方程框架

一阶微分方程

可分离变量型

形如：${\rm{y}}' = f(x) \cdot g(y)$，有：

$$ {\rm{y}}' = f(x) \cdot g(y) \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = f(x) \cdot g(y) \Rightarrow f(x) \Rightarrow \frac{{dy}}{{g(y)}} = f(x)dx \Rightarrow \int {\frac{{dy}}{{g(y)}}} = \int {f(x)dx} $$

进一步的，可通过换元得到以上形式的，也可以对其分离变量，如：

$$ {\rm{y}}' = f(ax + by + c) \Rightarrow u{\rm{ = }}ax + by + c \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = f(u) \Rightarrow \frac{{du}}{{dx}} = a + bf(u) \Rightarrow \frac{{du}}{{a + bf(u)}} = dx \Rightarrow \int {\frac{{du}}{{a + bf(u)}}} = \int {dx} $$

齐次型

形如$y'=f(\frac{y}{x})$或$\frac{1}{y'}=f(\frac{x}{y})$，按照上述方法换元转换为分离变量型，以$y'=f(\frac{y}{x})$为例，令$u=\frac{y}{x}$，有：

$$ y = ux \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = x\frac{{du}}{{dx}} + u \Rightarrow y' = \frac{{dy}}{{dx}} = f(u) = x\frac{{du}}{{dx}} + u \Rightarrow \int {\frac{1}{{f(u) - u}}du = \int {\frac{{dx}}{x}} } $$

一阶线性型

形如：$y'+p(x)y=q(x)$，使用以下公式计算（由于是应试，推导步骤略）：

$$ y = {e^{ - \int p (x)dx}}\left[ {{{\int e }^{\int p (x)dx}} \cdot q(x)dx + C} \right] $$

上式为一阶线性微分方程的通解公式，其中，式中的${\int p (x)dx}$为$p(x)$的某一个原函数。

注：上述公式中若$\int p (x)dx = \ln \left| {\varphi (y)} \right|$，该绝对值在上述公式中最后可以去掉，产生的$±$可以合并到常数$C$中得到常数$D$。

二阶微分方程（可降阶）

形如：$y''=f(x,y')$，即缺$y$型，令$y'=p,y''=p'$，有：

$$ y'' = \frac{{dp}}{{dx}} = f(x,y') = f(x,p) $$

由上式降阶为一阶微分方程，按一阶微分方程方法求解得到$p=y'=\varphi(x,C_1)$，则可求得原微分方程通解：

$$ y=\int \varphi(x,C_1)dx+C_2 $$

形如：$y''=f(y,y')$，即缺$x$型，令$y'=p,y''=p'=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy} \cdot p$，有：

$$ y''=\frac{dp}{dy} \cdot p=f(y,p) $$

由上式降阶为一阶微分方程，按一阶微分方程方法求解得到$p=y'=\varphi(y,C_1)$，分离变量后积分即可求得原微分方程的通解：

$$ \frac{{dy}}{{\varphi (y,{C_1})}} = dx \Rightarrow \int {\frac{{dy}}{{\varphi (y,{C_1})}}} = \int {dx} = x + {C_2} $$

高阶常系数线性微分方程*

对于形式为：$y''+py'+qy=f(x)$，$y''+py'+qy=f_1(x)+f_2(x)$求解步骤如下：

1. 写出方程$\lambda^2+p\lambda+q=0$，解出$\lambda_1,\lambda_2$或共轭复根；

2. 根据以下类型，写出齐次线性微分方程的通解：

   $$ y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{C_1}{e^{{\lambda _1}x}} + {C_2}{e^{{\lambda _2}x}},}&{{p^2} - 4q > 0(root:{\lambda _1} \ne {\lambda _2})}\\ {({C_1} + {C_2}x){e^{\lambda x}},}&{{p^2} - 4q = 0(root:{\lambda _1} = {\lambda _2} = \lambda )}\\ {{e^{\alpha x}}({C_1}\cos \beta x + {C_2}\sin \beta x),}&{{p^2} - 4q < 0(root:\alpha \pm \beta i)} \end{array}} \right. $$

3. 对于第一种形式，直接根据自由项$f(x)$的形式设特解，对于第二种形式需分别根据自由项$f_1(x),f_2(x)$的形式设两个特解，然后相加得到微分方程的特解，特解形式如下：

   $$ y^* = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{e^{\alpha x}}{Q_n}(x){x^k},}&{f(x) = {P_n}(x){e^{\alpha x}}}\\ {{e^{\alpha x}}\left[ {Q_l^{(1)}(x)\cos \beta x + Q_l^{(2)}(x)\sin \beta x} \right]{x^k},}&{f(x) = {e^{\alpha x}}\left[ {{P_m}(x)\cos \beta x + {P_n}(x)\sin \beta x} \right]} \end{array}} \right. $$

   上式中的$e^{\alpha x}$直接从自由项中照抄，$Q_n$为$x$的$n$次一般多项式，$l=max\{m,n\}$，$Q_l^{(1)},Q_l^{(2)}$分别为$x$的两个不同的$l$次一般多项式。

   $k$在${p^2} - 4q \ge 0$时：$\alpha$与所有特征根都不相等，此时$k=0$；与其中一个特征根相等，$k=1$；与所有特征根相等，$k=2$。

   $k$在${p^2} - 4q < 0$时：$\alpha \pm \beta i$不是特征根，此时$k=0$；$\alpha \pm \beta i$是特征根，$k=1$。

最后，将齐次微分方程的通解加上该微分方程的一个特解即是非齐次微分方程的通解，简单来说就是先写齐次通解再设非齐次特解，相加得非齐次通解。

对于$y^{(n)}(n \ge 3)$的情形：

形如$y'''+p_1y''+p_2y'+p_3y=0$，同样的写出特征方程：$\lambda ^3+p_1\lambda^2+p_2\lambda+p_3=0$，解得$\lambda_{1,2,3}$，然后根据以下不同情况直接写出通解：

1. 若$\lambda_i$为单实根：$Ce^{\lambda x}$;
2. 若$\lambda_i$为$k$重实根：$(C_1+C_2x+C_3x^2+\cdots+C_kx^{k-1})e^{\lambda x}$；
3. 若$\lambda_i$为单复根$\alpha\pm\beta i$：$e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)$。

将上述每一个特征根产生的项相加，得到$y$的齐次通解。

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Henry 2023-09-06

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