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【简单】区间和(离散化方法)

• June 5, 2021 • Read: 488 • 学习笔记,算法&题库,算法

假定有一个无限长的数轴,数轴上每个坐标上的数都是 $\rm{0}$。
现在,我们首先进行 $n$ 次操作,每次操作将某一位置 $x$ 上的数加上 $c$。
接下来,进行 $m$ 次询问,每个询问包含两个整数 $l$ 和 $r$ ,你需要求出在区间 $\left[ {l,r} \right]$ 所有数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。
接下来 $n$ 行,每行包含两个整数 $x$ 和 $c$。
再接下来的 $m$ 行,每行包含两个整数 $l$ 和 $r$。

输出格式

共 $m$ 行,每行输出一个询问中所求的区间内数字和。

数据范围

$- {10^9} \le x \le {10^9}$
$\rm{1} \le n,m \le {10^5}$
$- {10^9} \le l \le r \le {10^9}$
$- 10000 \le c \le 10000$

输入样例

3 3
1 2
3 6
7 5
1 3
4 6
7 8

输出样例

8
0
5

题解

(离散化、前缀和)

对于数据量比较小的数组,可直接使用前缀和操作即可,但如果数据量很大,如本题:$- {10^9} \le x \le {10^9}$,如果依然使用前缀和就可能超出时间限制!
根据题意,虽然数据的范围很大(${10^9}$),但需要我们处理的坐标最多也就是$\rm{3} \times {10^5}$,即 $n + 2m$ ($\rm{1} \le n,m \le {10^5}$),所以将其离散化可以节省很多不必要的操作,因为没有处理的数组坐标对应的值就是 $\rm{0}$,我们求前缀和的时候,就将这些为 $\rm{0}$ 的区域忽略掉。

离散化即是把无限空间中有限的个体映射到有限的空间中去,此题我们把需要处理的数组下标映射到一个新的容器 alls 中去,定义 find() 函数来返回离散化容器 alls 中对应坐标的位置,最后,用之前的前缀和思想即可在较短时间实现题目要求。

C++ 代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 300010;

int n, m;
int a[N], s[N];
vector<int> alls;//需要操作的坐标
vector<PII> add, query;

//二分查找坐标x在离散化坐标容器vector alls中的位置
int find(int x)
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while(l < r)
    {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if(alls[mid] >= x)
            r = mid;
        else
            l = mid + 1;
    }
    return r + 1;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int x, c;
        cin >> x >> c;
        add.push_back({x, c});
        alls.push_back(x);  //存储将要操作的坐标
    }
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        query.push_back({l, r});
        alls.push_back(l);  //存储将要操作的区间坐标
        alls.push_back(r);
    }
    //去重(unique()函数必须排序后使用)
    sort(alls.begin(), alls.end());
    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   //unique()函数去除连续重复值,将其余值接在后面,返回去重后的末尾迭代器,该迭代器对应的即是其余值的起始位置。
    //处理插入
    for(auto item : add)
    {
        int x = find(item.first);
        a[x] += item.second;
    }
    //预处理前缀和
    for (int i = 1; i <= alls.size(); i++)
        s[i] = s[i - 1] + a[i];
    //处理询问
    for(auto item : query)
    {
        int l = find(item.first), r = find(item.second);
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }
    return 0;
}

unique()函数实现方法

由于 Java 和 Python 中无 unique() 函数,对此给出 unique() 函数的具体实现(C++):

//双指针算法
vector<int>::iterator unique(vector<int> &a)
{
    int j = 0;
    for (int i = 0; i <= a.size(); i++)
    {
        if(!i || a[i] != a[i - 1])
            a[j++] = a[i];
    }
    return a.begin() + j;
}

版权属于:字节星球 (转载请联系作者授权)
原文链接:https://www.bytecho.net/archives/1789.html
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